Насчёт метающегося тренера: это видимо GPS глючит. Если ты прошёл дальше с выключенным экраном. У меня такое постоянно. Не знаю как убрать.
Насчет экономии. Посмотри в настройках телефона (экран-тайм аут экрана), там можно настроить время работы экрана. У меня ещё стоит галочка Battery saver в игре. Не знаю на что точно это влияет, но экран темнеет (появляется надпись Pokemon Go) когда переворачиваю его.
Ещё не забывай, что экран выключать временами надо. Чем дольше он работает без перерыва, тем интенсивнее кончается зарядка. Батарея скорее всего перегревается.
